台阶问题/斐波那契

台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

# 递归，简洁，但是有大量的重复计算，效率低
fib = lambda n: n if n <= 2 else fib(n - 1) + fib(n - 2)

def memo(func):
    cache = {}
    def wrap(*args):
        if args not in cache:
            cache[args] = func(*args)
        return cache[args]
    return wrap


@memo
def fib(i):
    if i < 2:
        return 1
    return fib(i-1) + fib(i-2)

# 效率高
def fib(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in xrange(n):
        a, b = b, a + b
    return b

死活想不出来，

让我想起了当初接触汉诺塔时的情景

变态台阶问题

题目描述： 一个台阶总共有n级，如果一次可以跳1级，也可以跳2级……也可以跳n级。求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。

分析：用Fib(n)表示跳上n阶台阶的跳法数。如果按照定义，Fib(0)肯定需要为0，否则没有意义。但是我们设定Fib(0) = 1；n = 0是特殊情况，通过下面的分析就会知道，强制令Fib(0) = 1很有好处。ps. Fib(0)等于几都不影响我们解题，但是会影响我们下面的分析理解。

当n = 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;

当n = 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2) = 2;

到这里为止，和普通跳台阶是一样的。

当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，对应Fib(3-1)种跳法； 第一次跳出二阶后，对应Fib(3-2)种跳法；第一次跳出三阶后，只有这一种跳法。Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+ 1 = Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) = 4;

当n = 4时，有四种方式：第一次跳出一阶，对应Fib(4-1)种跳法；第一次跳出二阶，对应Fib(4-2)种跳法；第一次跳出三阶，对应Fib(4-3)种跳法；第一次跳出四阶，只有这一种跳法。所以，Fib(4) = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + 1 = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + Fib(4-4) 种跳法。

当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n阶后，后面还有 Fib(n-n)中跳法。Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+……….+Fib(n-n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-1)。

通过上述分析，我们就得到了通项公式：

Fib(n) =  Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+ Fib(n-2) + Fib(n-1)

因此，有Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)

两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1) = Fib(n-1) =====> Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3

这就是我们需要的递推公式：Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3

def fib(n):
    return 2**(n-1) if n>0 else 0

参考：

跳台阶问题 + 变态跳台阶问题 解法（动态规划递归 + 非递归）

台阶问题